Vorwort
1. Einleitung
2. Einführendes Beispiel
3. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
4. Monte Carlo Simulation
5. Prämienkalkulation für überspartliche Versicherungsprodukte
Abkürzungsverzeichnis
Register/ Stichworte

4 Monte Carlo Simulation

Mit dem Wissen aus den Kapiteln 2 und 3 haben wir nun die notwendige Basis, um ein grundlegendes und sehr nützliches Simulationsprogramm aus der Sachversicherung zu erstellen. Dazu wollen wir in Abschnitt 4.1 die graue Theorie des Kapitels 3 einmal verdrängen und sehen, wie ein solches Modell aufgebaut wird. Im Anschluß daran erörtern wir in Abschnitt 4.2 die theoretische Grundlage von Simulationsverfahren, das Gesetz der großen Zahlen. Darüber hinaus erklären wir, wie Zufallszahlen erzeugt werden, die einer vorgegebenen (empirischen oder parametrischen) Wahrscheinlichkeitsverteilung genügen. Im Abschnitt 4.3 widmen wir uns der einschlägigen Software für Monte Carlo Simulation. Darüber hinaus geben wir einen Algorithmus an, der beschreibt, wie man Simulationsmodelle für den Sachversicherungsbereich in jeder herkömmlichen Programmiersprache selber entwickeln kann. Zum Abschluß dieses Kapitels wollen wir über den Tellerrand hinaus schauen und Beispiele für die Verwendung der Monte Carlo Simulation in anderen Wirtschaftszweigen geben.

4.1 Ein Beispiel aus der Rückversicherung

Im letzten Kapitel haben wir bereits das Kollektive Modell der Sachversicherungsmathematik vorgestellt. Dessen wesentliches Merkmal ist die Separierung der Schadeninformationen in die Schadenanzahl- und die Schadenhöhenverteilung. Verschwiegen haben wir aber bislang, wie man mit der Kenntnis dieser Wahrscheinlichkeitsverteilungen ein Simulationsverfahren aufbauen kann. Dieses Geheimnis werden wir im folgenden lüften. Dazu versetzen wir uns in die Lage eines Rückversicherers (RV), der einen Schadenexcedentenvertrag (XL-Vertrag; engl.: excess of loss treaty) zu quotieren hat. Dieser Vertrag soll bei einer Priorität von € 2.500.000 eine Haftungsstrecke von € 12.500.000 haben. In der Sprache der Rückversicherung möchte der Zedent also einen XL-Vertrag 12.500.000 xs 2.500.000 abschließen . Zusätzlich soll dieser Vertrag ein sogenanntes AAD (Annual Aggregate Deductible; Jahresselbstbehalt) in Höhe von € 7.500.000 beinhalten. Die Auswirkung einer solchen AAD-Vereinbarung kann man am einfachsten anhand eines Beispiels nachvollziehen, vgl. Tabelle 4.1.

Tab. 4.1: Beispiel eines XL-Vertrages mit einem AAD

Die ersten Schäden trägt der Erstversicherer also komplett selber, bis er aus den Schäden, die der Rückversicherer bei einem XL-Vertrag ohne AAD gezahlt hätte, seinen Jahresselbstbehalt ausgeschöpft hat.

Ist schon die Quotierung eines XL-Vertrages ohne AAD mit der bekannten Burning Cost-Methode je nach vorhandenem Datenmaterial eine delikate Angelegenheit, so wird dieses Quotierungsverfahren spätestens bei Hinzunahme eines hinreichend hohen AAD's ad absurdum geführt. Unter Umständen hätte der Rückversicherer dann nämlich in der as-if-Vergangenheitsbetrachtung gar keine Zahlungen leisten müssen, so daß die Burning Cost-Prämie in diesem Fall € 0 wäre. Um dieses Problem zu umgehen, werden wir nun mittels Monte Carlo Simulation neue (virtuelle) Schäden erzeugen, die so in der Vergangenheit durchaus hätten auftreten können. Damit berechnen wir dann je Simulation eine Burning Cost-Prämie (für die künstlich erzeugten Schäden). Dieses Verfahren führen wir anschließend mittels Monte Carlo Simulation beispielsweise 5.000 mal automatisiert durch und können dann anhand der statistischen Kenngrößen unserer so generierten Burning Cost-Prämie entscheiden, mit welchem technischen Preis wir in die Verhandlung mit dem Erstversicherer gehen. [...]